Vrije Universiteit Amsterdam
Department of Mathematics


Home Publications CV Teaching Contact Links


Informatie over "Dynamische Systemen" (juni 2008):

We maken bij dit vak gebruik van het boek "An introduction to dynamical systems, continuous and discrete" van R. Clark Robinson, waarvan ik hoofdstuk 8-10 hoop te behandelen. Het cijfer wordt bepaald aan de hand van 3 inleveropgaven en een mondelinge bespreking.

3 juni: Behandeld: blz. 293-308. Opgaven: 9.1.1b, 9.1.3 (zoals tabel 9.1.1), 9.1.4, 9.1.9 (gebruik figuur 9.1.4).

5 juni: Behandeld: blz. 309-323. Opgaven: 9.2.1, 9.3.4, 9.3.11 Inveren voor dinsdag 10 juni 17.00 uur: 9.3.1 en 9.3.18 (je mag bekend veronderstellen dat iedere Cauchy rij in |R convergeert.)

Extra opgave voor 5 juni (niet om in te leveren, wel leuk): Laat f: |R -> |R een twee keer continu differentieerbare afbeelding zijn en p in |R een punt waarvoor f(p) = f'(p) = 0. Neem ook aan dat de tweede afgeleide van f uniform begrensd is, zeg |f''(x)| < 2 C voor alle x in |R. Laat zien dat dit impliceert dat |f(x)-p| < C |x-p|^2 voor alle x. Bewijs nu dat |f^n(x)-p| < (C|x-p|)^{2^n} voor alle n > 0. Laat zien dat als |x-p| < 1/C, dan f^n(x) -> p als n naar oneindig gaat. We spreken hier van "superexponentiele" of "kwadradische" convergentie.

10 juni: Behandeld: blz. 323-331 en 342-347. Opgaven: 9.4.1c, 9.4.2, 9.4.3, 9.4.5, 9.6.2. Extra opgave: Bewijs Lemma 9.4.2.

12 juni: Behandeld: blz. 332-336. Opgaven: 9.5.1.

Inleveren voor dinsdag 17 juni 17:00 uur: Een van de volgende twee computer (Maple ?) opgaven. Mag in groepjes van 2 gemaakt worden. Graag een printje of word/pdf file van de code en plaatjes. NB: Komende dinsdag heb ik computerzaal S345 gereserveerd zodat we aan deze opdrachten kunnen werken.

1) Maak een plaatje zoals Figuur 9.5.7 voor de familie van tent-afbeeldingen T_r(x) = r x ( 0 < x < 1/2 ) , r (1-x) ( 1/2 < x < 1), voor r varierend van 0 tot 2. Kies zelf begincondities, aantal iteraties, etc.

2) Beschouw de kwadratische familie G_a(x) = a x (1-x) voor 0 < a < 4. Maak met behulp van plots van de grafieken van (G_a)^2, (G_a)^4 en (G_a)^3 een schatting van de parameters waarbij respectievelijk de periode-2, de periode-4 en de periode-3 baan ontstaan. NB: (G_a)^n betekent hier de n-keer geitereerde van G_a.

17 juni: Behandeld: blz. 367-373. Opgave (met de computer, maar niet om in te leveren): Laat F: |R^2 -> |R^2 gegeven zijn door

F(x,y) = ( x (x^2 + y^2) + cos(x), y (x^2 + y^2) + cos(y) ) .

Construeer een reeel-waardige functie W waarvan de stationaire (= kritieke) punten corresponderen met de vaste punten F. Maak een 2-dimensionale plot van de grafiek van W om deze vaste punten van F te vinden. Hoeveel punten zijn dit? Kun je dit ook bewijzen? Hint: Merk op dat F zelf de gradient is van een functie.

19 juni: Behandeld: blz. 374-382. Opgaven: 10.1.1, 10.1.3, 10.1.5, 10.2.1, 10.2.4. Inleveren voor donderdag 26 juni 11:00 uur: 10.1.2, 10.2.5.

24 juni: Behandeld: blz. 389-398. Opgaven: 10.3.2, 10.3.4, 10.4.3, 10.5.1, 10.5.2.

26 juni: Behandeld: Koch snowflake, chaos-video, chaotische slinger.

Voor het tentamen zijn tot nu toe de volgende afspraken gemaakt:

do 26 jun 11:00 Esther; 11:30: Lexmy; 13:30: Nadine; 14:00 Daniel; 14:30: Farid;

vr 27 juni 11:30: Aris H.; 12:00: Geeske; 14:00: Aris M.;

do 3 jul 14:00 Berry; 14:30: David; 15:00: Sedef; 15:30: Patrick; 16:00: Brian;

vr 4 jul 11:00: Marijn;