Wiskundige Analyse 2

Periode: Najaar 2006

Docent: Joost Hulshof
Practicumbegeleiding: Maurits van der Meer

Blackboard: alleen om op te schrijven. Alle informatie komt/staat op de webpagina die je nu bekijkt.


STAND VAN ZAKEN STAAT VOORTAAN IN WEBLOG


DE EERSTE WEEK gekomen tot en met definitie van open verzamelingen in metrische ruimten en de constatering dat open ballen zelf ook open zijn.

DE TWEEDE WEEK begonnen met continuiteit en limieten. Definitie convergente rij behandeld. Niemand kende de Bolzano-Weierstrass Stelling (BWS) dat in R begrensde rijen convergente deelrijen hebben. BWS gebruikt om te bewijzen dat f:[a,b] -> R continu impliceert dat f begrensd is. Vervolgens BWS bewezen met diagonaalrij van een rij deelrijen. Diagonaalrij is Cauchy (definitie herhaald), dus convergent.

Definitie van convergentie logisch ontkend.

In de definitie van convergent twee opeenvolgende quantifiers verwisseld (de eerste "er is" na de eerste "voor alle" met de daaropvolgende "voor alle")en dit eigenschap P genoemd. Bewezen dat P impliceert dat de rij een convergente deelrij heeft.

HUISWERKOPGAVE: bewijs de omgekeerde implicatie

PRACTICUM: Bewijs dat een continue functie f:[0,1] -> R een maximum heeft.

Ook besproken: onder elke epsilon > 0 zit een 1/n (Archemedische eigenschap van R)

Nav nabespreking werkcollege wordt het programma voor de tweede sessie aangepast.

NIEUW PROGRAMMA TWEEDE VRIJDAG:
De twee opgaven hierboven, huiswerk voor deze vrijdag: 9.2.5. 5,15,16, op practicum: 9.2.5. 1,2,9.

Het geplande programma schuift dus door.

DE DERDE WEEK behandeld: continuititeit van f van X naar R met convergente rijen. Rijkompaktheid van X.
X rijkompakt en f continu impliceert: f begrensd, f heeft max en min, f is uniform continu. 3 stellingen met verwant bewijs.
R is volledig, bewijs geschetst, uitgaande van axioma over kleinste bovengrenzen van niet lege naar boven begrensde verzamelingen.
Contractie-dekpuntstelling in volledige metrische ruimten, bewijs met voorbeeld in X=C([a,b]).
Volledigheid in C([a,b]) behandeld (ook uniforme convergentie herhaald).
Jullie weten al alles over open en gesloten verzamelingen dus...

OP WERKCOLLEGE kan programma van de tweede week hieronder gedaan worden.
Extra: kijk bij de opgaven over f(x,y) ook of je kunt laten zien dat f een max of een min
heeft op R^2 (R^2 is niet rijkompakt!).

DE VIERDE WEEK GEDAAN 10.1. f diffbaar in x=a als f(x)=f(a)+A(x-a)+R(x) met R(x)=o(x-a) als x naar a gaat. Laten zien dat |A(x)| begrensd door M|x|, en kettingregel behandeld voor g(f(x)). Richtingsafgeleiden en verband met A. Voorbeeld functie f(x,y) met alle richtingsafgeleiden in (0,0) bestaand en gelijk aan nul, terwijl f niet continu in (0,0). Thm 10.1.2. nog niet bewezen.

DE VIJFDE WEEK GEDAAN: nog een keer in detail verband tussen df(a) en de partiele afgeleiden. Kettingregel ook in de vorm zoals op pagina 431. Toegepast op g(t)=f(a+tu), samenstelling van x=a+tu en f(x). Hogere orde afgeleiden behandeld en g'(t) en g''(t) uitgerekend zoals op pagina 441. Daarna eerst Taylor voorbereid, Lemma 10.2.3. Kwadratische vorm van de tweede orde term besproken. Eigenwaarden van de Hessiaan bepalen in een stationair punt het lokale gedrag, mits ze allen ongelijk nul zijn. Hier kom ik nog op terug. Formulering en bewijs van Taylor is niet veel werk meer. Pas 1D Taylor toe op g(t) in t=1 met de afgeleiden in t=0. Ik doe dit iets anders dan in het boek, en haal uit de restterm g(1)=g(0)+g'(0)+g''(theta)/2 met theta een tussenpunt, het criterium voor de tweede orde afgeleiden.

Taylor gedaan met multinomium notatie. Criterium voor stationaire punten gedaan. Inleiding Impliciete Functiestelling gedaan. Middelwaardestelling in intergaalvorm behandeld. Volgende week bewijs Imp. F. Stelling.



COLLEGE/PROGRAMMA, ETC

Het college is een vervolg op het college Wiskundige Analyse 1, maar maakt gebruik van een ander boek, namelijk het boek "The way of analysis" van Strichartz, ISBN 0-7637-1497-6. Is eerder gebruikt op de VU voor zowel WA 1 en 2 dus vast goedkoop 2-de hands te krijgen. Deze pagina is daarom een kopie van de pagina die Andre Ran toen (2003) heeft gebruikt, waarvoor dank. We maken NIET gebruik van het boek van Marsden en Tromba, dat een aantal jaren voor Vector Calculus en WA 2 samen is gebruikt. VectorCalculus wordt dit jaar gegeven door Federica Pasquotto uit het boek van Edwards en Penney.

In het eerste blok van 8 weken komt de theorie van functies van meer veranderlijken aan de orde: limieten, continuiteit, afgeleiden. Toepassingen op optimalisatie met en zonder nevenvoorwaarden. De inverse en de impliciete functiestelling.

In het tweede blok van 8 weken komen verschillende onderwerpen aan de orde: inleiding differentiaalvergelijkingen en integratie theorie.

Oefententamens zijn beschikbaar: de tentamens van
22-12-2000
24-04-2001
29-10-2001
17-12-2001
06-05-2002

Ter herinnering even de deeltentamenregeling: voor het eerste deeltentamen dient men minimaal een 4,5 te halen, voor het tweede minimaal een 5, en het gemiddelde moet minimaal een 5,5 zijn. Het eindcijfer is het gemiddelde van de cijfers voor de twee deeltentamens.

De duur van een deeltentamen is twee uur.

Tegelijk met het tweede deeltentamen wordt de gelegenheid geboden te kiezen voor het afleggen van het gehele tentamen. De student mag op de tentamenzitting besluiten het gehele tentamen (3 uur) danwel het deeltentamen af te leggen (vertrek na 2 uur).

Van deeltentamens wordt geen herkansing geboden, deeltentamencijfers vervallen dus.

Eerste week

Uit het boek te behandelen de paragrafen 9.1 en 9.2 1 t/m 3.

Ik geef werk op in drie categorieen: oefeningen, huiswerk en practicum. De eerste categorie moet je wel maken, maar wordt verder niet meer besproken, de tweede categorie wordt kort besproken op het werkcollege, en de derde categorie wordt op het werkcollege gemaakt.

Oefeningen:
9.1.4: 1,2,3,10
9.2.5: 1,2

Huiswerk:
9.1.4: 5,9
9.2.5: 19

Practicum:
9.1.4: 14
9.2.5: 5,14,15,16

Tweede week

Uit het boek te behandelen uit paragraaf 9.2.4, de eerste twee alineas en Stelling 9.2.7 en paragraaf 9.3.1, paragraaf 9.3.2 Stelling 9.3.3, en tenslotte paragraaf 9.3.4.

Bij het huiswerk en practicum van deze week is sprake van "Opgaven". Dat zijn opgaven uit het dictaat Analyse II voor BWI studenten (dank aan de auteur, dr. R.F. Swarttouw, voor het gebruik mogen maken hiervan). Je vindt ze hier .

Oefeningen:
9.3.7: 2,4,21

Huiswerk: 9.3.7: 15,16
Opgaven: 1.3a,b, 1.4a, 1.5a

Practicum:
9.3.7: 17
Opgaven: 1.7, 1.8, 1.11

Derde week

Uit het boek te behandelen de paragrafen 10.1.1, 10.1.2, 10.1.3 en van paragraaf 10.2.1 in ieder geval het resultaat.

Ook bij het huiswerk en practicum van deze week is sprake van "Opgaven". Dat zijn weer opgaven uit het dictaat Analyse II voor BWI studenten (en natuurlijk ook weer dank aan de auteur, dr. R.F. Swarttouw, voor het gebruik mogen maken hiervan). Je vindt ze hier .

Oefeningen:
10.1.5: 2 en 13
Opgaven: 2.4

Huiswerk:
10.1.5: 4 en 10
Opgaven: 2.3, 2.6 a en b

Practicum:
10.1.5: 6 en 7
Opgaven: 2.6 c, 2.7 en 2.8

Vierde week

Uit het boek wordt behandeld Hoofdstuk 10, paragraaf 2. Sommige stukjes gaan net iets anders dan het boek het doet, op college wordt verteld wat en hoe. Er is ook weer een serie opgaven voor dit college.

Oefeningen:
Opgave 2: 12
Boek: 10.2.4: 15 a

Huiswerk:
Opgaven: 2.14 a en e en Opgaven 3.3 a en b

Practicum
10.2.4: 16
Opgaven 3.2, 3.6, 3.7

Vijfde week

Deze week doen we de stelling van Taylor, paragraaf 10.2.3 uit het boek, en een inleiding op de inverse- en impliciete functie stelling (uit het boek paragraaf 13.1.1). Er is ook weer een serie opgaven voor deze week

Oefeningen:
Lees nog eens na uit het boek van Edwards en Penney de paragrafen 3.8 en 13.7 vanaf Stelling 3 op pagina 847.
Opgave 5.

Huiswerk:
Boek 13.1.3, de opgaven 4a en c.
Opgaven 1 en 2.

Practicum
Opgaven 3 en 4.

Zesde week

De serie opgaven voor deze week is hier te vinden.

Oefeningen:
Opgave 1.

Huiswerk:
Boek 13.1.3, de opgave 4b.
Opgaven 2, 3a en 4.

Practicum
Opgaven 3b,c en 5.

Zevende week

De stof van deze week is paragraaf 13.3 uit het boek van Strichartz. Paragraaf 13.2 behoort niet tot de stof, maar is wel heel aardig om eens na te lezen. Ik wijs even op de handige samenvattingen aan het eind van elk hoofdstuk. Vaak is het zo dat zaken die Strichartz in de tekst niet als stelling formuleert, daar wel netjes als stelling zijn opgenomen (zoals deze week de "second derivative test"). De serie opgaven voor deze week is deze. Ook nu weer dank aan dr. R.F. Swarttouw. Een aantal van de vraagstukken is overgenomen uit: M.H. Hendriks, Vraagstukken Analyse 2 1/2, H.D. Tjeenk Willink b.v., Groningen, 1976.

Oefeningen:
Opgaven 1, 8, en uit het boek 13.3.3 4a.
Lees uit het boek van Edwards en Penney paragraaf 13.9, en vergelijk het bewijsje dat daar gegeven wordt voor het meest simpele geval eens met het bewijs in het boek van Strichartz. Merk op dat het idee hetzelfde is.

Huiswerk:
Opgaven 2, 5 en 9.

Practicum
Opgaven 3, 4 en 10.

Achtste week

De stof van deze week zijn de paragrafen 11.1.1 tot en met 11.1.3. Er zijn ook nu weer opgaven te vinden voor deze week.

Oefeningen
Uit het boek 11.1.6 1 en 2

Huiswerk:
Uit het boek 11.1.6 4 en 5.
Opgaven 2a en 3 a en b.

Practicum:
Opgaven 1, 2 b,c,d.

Negende week

Deze week beginnen we met de theorie van Riemann integratie. De stof voor de komende weken komt uit Hoofdstuk 6 van het boek. Deze week eerst een herhaling van de Riemann integraal voor continue functies op een compact interval.

Huiswerk:
Uit het boek, paragraaf 6.1.5: 5, 12, 13.

Practicum:

Tiende week

Leeswerk: Hoofdstuk 6 van Strichartz, paragraaf 6.3 en Edwards en Penney, hoofdstuk 9, paragraaf 8 (althans in mijn editie). Huiswerk:
6.3.2, sommen 1,2,6 plus nog een paar uit Edwards en Penney: de opgaven 9.8:49,50 en 51 (de sommen over "Gabriel's horn").

Practicum:
6.3.2 som 3 en de volgende extra opgave: Laat zien dat $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx$ niet absoluut convergent is.

Elfde week

Leeswerk: paragraaf 6.2 uit Strichartz.

Huiswerk:
Paragraaf 6.2.4 opgave 6 en paragraaf 7.3.4 opgaven 3 en 7.

Practicum:
Paragraaf 6.2.4 opgaven 9, 10 en 11 en paragraaf 7.3.4 opgave 11.

Twaalfde week

Leeswerk: paragraaf 7.3 uit Strichartz over uniforme convergentie.

Opgaven: de opgaven voor deze en komende week kun je hier vinden.

Huiswerk:
1 a en c, 2,

Practicum:
4 en 5.

Dertiende week

Huiswerk:
3 a, b, c.

Practicum:
6 en 7.

Email adres: jhulshof@few.vu.nl
Kamer: R3.40
telefoon: 020 44 47682